Sect. 7.4.A. Pages 152-153 (Note: '&' is used for the dot; '|-' is the conclusion indicator)1. 1. (V -> L)
2. (V & U) |- L
3. V 2, Si
4. L 1,3 MP2.
1. (F v N) -> P
2. F |- P
3. (F v N) 2, Ad
4. P 1,3 MP3.
1. (E & R)
2. (T & D) |- (T & E)
3. E 1, Si
4. T 2, Si
5. (T & E) 3,4 Con4.
1. (B -> S)
2. (C -> S) -> L
3. (C -> B) |- L
4. (C -> S) 1,3 HS
5. L 2,4 MP5. See page 235 in the book.
6.
1. (H -> -B)
2. (-B -> P)
3. (P -> A) |- (H -> A)
4. (H -> P) 1,2 HS
5. (H -> A) 3,4 HS7.
1. (F -> J) -> (-F -> -D)
2. -(-F v -D)
3. (F -> J) v F
4. J & (F v -F) |- (F & J)
5. -(F -> J) 1,2 MT
6. F 3,5 DS
7. J 4, Si
8. (F & J) 6,7 Con8.
1. (S v R) -> (B -> C)
2. (R -> S)
3. (R & B) & S |- (B -> C)
4. (R & B) 3, Si
5. R 4, Si
6. S 2,5 MP
7. (S v R) 6, Ad
8. (B -> C) 1,7 MP9.
1. A -> (A -> E)
2. I v (L -> P)
3. (-I & L)
4. A |- (E v P)
5. (A -> E) 1,4 MP
6. -I 3, Si
7. (L -> P) 2,6 DS
8. (A v L) 4, Ad
9. (A -> E) & (L -> P) 5,7 Con
10. (E v P) 8,9 CD10. See page 235 in the book.
11.
1. (-T & D) -> (-T -> -P)
2. [(-T &D) & -P] & [(P -> N) v T]
3. (-N -> N) |- (-P v N)
4. [(-T &D) & -P] 2, Si
5. (-T &D) 4, Si
6. (-T -> -P) 1,5 MP
7. -T 5, Si
8. (-T -> -P) & (-N -> N) 3,6 Con
9. (-T v -N) 7, Ad
10. (-P v N) 8,9 CD12.
1. (Q v -I) -> E
2. (-H v G) -> W
3. Q |- (E v W) v -Q
4. (Q v -I) 3, Ad
5. (Q v -I) & (-H v G) 4, Ad
6. [(Q v -I) -> E] & [(-H v G) -> W] 1,2 Con
7. (E v W) 5,6 CD
8. (E v W) v -Q 7, AdSect. 7.4.B. Pages 153-154.
1.
1. (V -> G) & (L -> O)
2. V |- (G v O)
3. (V v L) 2, Ad
4. (G v O) 1,3 CD2.
1. (-F & G)
2. (H -> F) |- (-H v K)
3. -F 1, Si
4. -H 2,3 MT
5. (-H v K) 4, Ad3.
1. (-V -> V) & (L -> O)
2. -V |- (O v G)
3. (-V v L) 2, Ad
4. (V v O) 1,3 CD
5. O 2,4 DS
6. (O v G) 5, Ad4.
1. (-B v P) v S
2. (S -> O) & -(B v S)
3. -(-B v P) |- O
4. S 1,3 DS
5. (S -> O) 2, Si
6. O 4,5 MP5. See page 235 in the book.
6.
1. (Q -> D) & (J -> U)
2. (Q & D) & U |- (D v U)
3. (Q & D) 2, Si
4. Q 3, Si
5. (Q v J) 4, Ad
6. (D v U) 1,5 CD7.
1. (R -> F) & (I -> D)
2. R
3. (F v -D) -> (I -> -L)
4. F |- (F v -L)
5. (R -> F) 1, Si
6. (R v I) 2, Ad
7. (F v -D) 4, Ad (this move not needed)
8. (R -> F) & (I -> -L) 5,8 Con
9. (F v -L) 6,8 CD8.
1. (X & -T)
2. (-Q & X) -> Z
3. (-Q & S) |- (X & Z) v X
4. X 1, Si
5. -Q 3, Si
6. (-Q & X) 4,5 Con
7. Z 2,6 MP
8. (X & Z) 4,7 Con
9. (X & Z) v X 8, AdSect. 7.4.C. Pages 154-155
1.
1. (I & J) & L |- I & (I & J)
2. (I & J) 1, Si
3. I 2, Si
4. I & (I & J) 2,3 Con2.
1. (-Q v -J) -> U
2. -Q |- U
3. (-Q v -J) 2, Ad
4. U 1,3 MP3.
1. (R & A) |- R v (A v -A)
2. R 1, Si
3. R v (A v -A) 2, Ad4.
1. (F -> H)
2. (F -> O)
3. F |- (O & H)
4. O 2,3 MP
5. H 1,3 MP
6. (O & H) 4,5 Con5. See page 235 in the book
6.
1. (S v D) -> (T -> I)
2. (T -> I) -> (-E & L)
3. (C v I) -> S
4. (C & I) |- -E
5. C 4, Si
6. (S v D) -> (-E & L) 1,2 HS
7. (C v I) 5, Ad
8. S 3,7 MP
9. (S v D) 8, Ad
10. (-E & L) 6,9 MP
11. -E 10, Si7.
1. (F -> Y)
2. (Y & S)
3. Y -> -(K -> J)
4. (K -> J) v (Z -> S)
5. (J -> Z) |- (J -> S)
6. Y 2, Si
7. -(K -> J) 3,6 MP
8. (Z -> S) 4,7 DS
9. (J -> S) 5,8 HS8.
1. (A -> B) -> (C -> D)
2. -(A -> B) -> -C
3. -(C -> D) |- (-C v -B)
4. -(A -> B) 1,3 MT
5. -C 2,4 MP
6. (-C v -B) 5, Ad9.
1. (A -> C)
2. (B -> A)
3. (C -> D)
4. -D |- (-B & -A) & -C
5. -C 3,4 MT
6. -A 1,5 MT
7. -B 2,6 MT
8. (-B & -A) 6,7 Con
9. (-B & -A) & -C 5,8 Con10. See page 235 in the book
11.
1. (M -> I)
2. -I
3. (-M -> W) |- (W & -I)
4. -M 1,2 MT
5. W 2,4 MP
6. (W & -I) 2,5 Con12.
1. (-H v -Q) -> -L
2. [(Q v H) v -D] -> (-H & -L)
3. (Q & -D) |- -L & (Q & -D)
4. Q 3, Si
5. (Q v H) 4, Ad
6. (Q v H) v -D 5, Ad
7. (-H & -L) 2,6 MP
8. -H 7, Si
9. (-H v -Q) 8, Ad
10. -L 1,9 MP
11. -D 3, Si (actually, the axiom Commutation is needed here)
12. (Q & -D) 4,11 Con
13. -L & (Q & -D) 10,12 Con13.
1. (-X & U)
2. (-X -> S)
3. (S -> U)
4. (U -> - - E)
5. (-E v J) |- J
6. -X 1, Si
7. S 6,2 MP
8. U 3,7 MP
9. - -E 4,8 MP
10. J 5,9 DS14.
1. T -> (-A & W)
2. O -> (N v F)
3. T
4. (N v F) -> A |- -O
5. (-A & W) 1,3 MP
6. -A 5, Si
7. -(N v F) 4,6 MT
8. -O 2,7 MT15. See page 235 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman.
16.
1. (C -> L)
2. C
3. (L -> N)
4. (N -> -S) |- -S
5. (L -> S) 3,4 HS
6. L 1,2 MP
7. S 5,6 MP17.
1. (O -> Q) & {(G <-> O) -> [(P -> -R) v K]}
2. {[(P -> R) -> (K -> G)] -> [(O -> K) v -P]}
3. {(O -> Q) -> [(P -> R) -> (K -> G)]} |- (O -> K) v -P
4. (O -> Q) 1, Si
5. (P -> R) -> (K -> G) 3,4 MP
6. (O -> K) v -P 2,5 MP18.
1. (-N -> -M)
2. (-M -> -N)
3. (-M v -M) |- (-N v -M)
4. (-M -> -M) 1,2 HS
5. (-M -> -N) & (-M -> -M) 3,5 Con
6. (-N v -M) 2,5 CD19.
1. (-M -> N)
2. (-M v N)
3. (N -> N) |- (N v N) v -M
4. (-M -> N) & (N -> N) 1,3 Con
5. (N v N) 2,4 CD
6. (N v N) v -M 5, Ad20. See page 235 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman.
Sect. 7.5.A. Pages 164-165.
1.
1. (R & G) -> Q
2. -(S v -G)
3. (Q -> S) |- -R
4. (-S & - - G) 2, DM
5. -S 4, Si
6. -Q 3,5 MT
7. -(R & G) 1,6 MT
8. (-R v -G) 7, DM
9. (-G v -R) 8, Com
10. (- - G & -S) 4, Com
11. - - G 10, Si
12. -R 9,11 DS2.
1. L v -(B & N)
2. -(B -> V) -> -L
3. (-S & -Z)
4. -(B & N) -> S |- V
5. -S 3, Si
6. - -(B & N) 4,5 MT
7. -(B & N) v L 1. Com
8. L 6,7 DS
9. - -L 8, DN
10. - -(B -> V) 2,9 MT
11. (B -> V) 10, DN
12. (B & N) 6, DN
13. B 12, Si
14. V 11,13 MP3.
1. (P & Y) |- P & (Y v T)
2. P 1, Si
3. (Y & P) 1, Com
4. Y 3, Si
5. (Y v T) 4, Ad
6. P & (Y v T) 2,5 Con4.
1. [A v (-C v J)] -> (J -> -C)
2. (C -> A) v J |- (-C v -J)
3. (-C v A) v J 2, MI
4. (A v -C) v J 3, Com
5. A v (-C v J) 4, As
6. (J -> -C) 1,5 MP
7. (-J v -C) 6, MI
8. (-C v -J) 7, Com5. See page 235 in First Logic, 3/e by Michael F. Goodman
6.
1. -I -> (-O v U)
2. -(I v U)
3. (-U v -O) |- -O
4. (-I & -U) 2, DM
5. -I 4, Si
6. (-O v U) 1,5 MP
7. (U v -O) 6, Com
8. (-U & -I) 4, Com
9. -U 8, Si
10. -O 7,9 DS7.
1. (X -> Z) & (Z -> V)
2. (Z -> D) & (V -> T)
3. (X v Z) |- (D v V) v -(V & D)
4. (X -> Z) 1, Si
5. (Z -> D) 2, Si
6. (X -> D) 4,5 HS
7. (Z -> V) & (X -> Z) 1, Com
8. (Z -> V) 7, Si
9. (X -> D) & (Z -> V) 6,8 Con
10. (D v V) 3,9 CD
11. (D v V) & -(V & D) 10, Ad8.
1. (E -> A) -> [T v (G & K)]
2. (T -> A)
3. (G -> -E)
4. -(-T & -G) |- -(-T & -K)
5. (- - T v - - G) 4, DM
6. (T v - - G) 5, DN
7. (T v G) 6, DN
8. (T -> A) & (G -> -E) 2,3 Con
9. (A v -E) 7,8 CD
10. (-E v A) 9, Com
11, (E -> A) 10, MI
12. T v (G & K) 1,11 MP
13. (T v G) & (T v K) 12, Di
14. (T v K) & T v G) 13, Com
15. (T v K) 14, Si
16. (- - T v K) 15, DN
17. (- - T v - - K) 16, DN
18. -(-T & -K) 17, DM9.
1. C -> (F -> G)
2. (C & -G)
3. (-R v Y) v A
4. -F -> (R & -Y) |- A
5. C 2, Si
6. (-G & C) 2, Com
7. -G 6, Si
8. (F -> G) 1,5 MP
9. -F 7,8 MT
10. (R & -Y) 4,9 MP
11. (- - R & -Y) 10, DN
12. -(-R v Y) 11, DM
13. A 3,12 DS10. See page 235 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman
11.
1. (F -> -J) & (N -> P)
2. (P -> T)
3. (F v N) |- (N v -J) v T
4. (-J v P) 1,3 CD
5. (J -> P) 4, MI
6. (J -> T) 2,5 HS
7. (-J v T) 6, MI
8. (-J v T) v N 7, Ad
9. N v (-J v T) 8, Com
10. (N v -J) v T 9, As12.
1. (J -> P) & [J -> (J & O)]
2. -(-J & -J) |- (P v O)
3. - -(J v J) 2, DM
4. (J v J) 3, DN
5. J 4, Re
6. (J -> P) 1, Si
7. P 5,6 MP
8. (P v O) 7, Ad13.
1. (I -> J)
2. (-F & S) v (D & -F)
3. -(-Y v J) |- (F <-> I)
4. (- -Y & -J) 3, DM
5. (-J & - - Y) 4, Com
6. -J 5, Si
7. -I 1,6 MT
8. (-I v F) 7, Ad
9. (I -> F) 8, MI
10. (-F & S) v (-F & D) 2, Com
11. -F & (S v D) 10, Di
12. -F 11, Si
13. (-F v I) 12, Ad
14. (F -> I) 13, MI
15. (F -> I) & (I -> F) 9,14 Con
16. (F <-> I) 15, ME14.
1. (N -> M) -> -P
2. (L v O) -> P
3. -N |- -O
4. (-N v M) 3, Ad
5. (N -> M) 4, MI
6. -P 1,5 MP
7. -(L v O) 2,6 MT
8. (-L & -O) 7, DM
9. (-O & -L) 8, Com
10. -O 9, Si15. See page 236 in First Logic, 3/e by Michael F. Goodman
16.
1. (T -> E)
2. (-T -> -I) & (P -> G)
3. -I -> -(-I v G) |- I
4. - - I v -(-I v G) 3, MI
5. I v -(-I v G) 4, DN
6. I v (- - I & -G) 5, DM
7. I v (I & -G) 6, DN
8. (I v I) & (I v -G) 7, Di
9. (I v I) 8, Si
10. I 9, Re17.
1. -(-W -> -X) -> Y
2. (-X -> Z)
3. (W v Y) -> (-Z -> A)
4. -A |- Z
5. -(- - W v -X) -> Y 1, MI
6. (- - - W & - - X) -> Y 5, DM
7. (-W & - - X) -> Y 6, DN
8. (-W & X) -> Y 7, DN
9. -(-W & X) v Y 8, MI
10. (- - W v -X) v Y 9, DM
11. (W v -X) v Y 10, DN
12. (-X v W) v Y 11, Com
13. -X v (W v Y) 12, As
14. X -> (W v Y) 13, MI
15. -(W v Y) -> -X 14, Cp
16. -(W v Y) -> Z 2,15, HS
17. -Z -> (W v Y) 16, Cp
18. -Z -> (-Z -> A) 3,16, HS
19. - - Z v (-Z -> A) 18, MI
20. Z v (-Z -> A) 19, DN
21. Z v (- - Z v A) 20, MI
22. Z v (Z v A) 21, DN
23. (Z v Z) v A 22, As
24. (Z v A) 23, Re
25. (A v Z) 24, Com
26. Z 4,25 DS18.
1. -[-R v (F -> J)] -> -R
2. -R -> (J & W) 3. -[L v (J -> R)] -> - - R
4. -J |- {-F & [L v (J -> R)]}
5. - - R v (J & W) 2, MI
6. R v (J & W) 5, DN
7. (R v J) & R v W) 6, Di
8. (R v J) 7, Si
9. (J v R) 8, Com
10. R 4,9 DS
11. - - R 10, DN
12. - - [-R v (F -> J)] 1,11 MT
13. -R v (F -> J) 12, DN
14. (F -> J) 11,13 DS
15. -F 1,14 MT
16. (R v -J) 10, Ad
17. (-J v R) 16, Com
18. (J -> R) 17, MI
19. (J -> R) v L 18, Ad
20. L v (J -> R) 19, Com
21. -F & [L v (J -> R)] 15,20 Con**Note that premise #3 is not needed in this proof.
19.
1. (A & C) v [A & (C <-> D)]
2. -D -> (A -> E)
3. -(B -> C) |- (E v -A)
4. -(-B v C) 3, MI
5. (- - B & -C) 4, DM
6. (-C & - - B) 5, Com
7. -C 6, Si
8. (-C v -A) 7, Ad
9. (-A v -C) 8, Com
10. -(A & C) 9, DM
11. A & (C <-> D) 1,10 DS
12. (C <-> D) & A 11, Com
13. (C <-> D) 12, Si
14. (C -> D) & (D -> C) 13, ME
15. (D -> C) & (C -> D) 14, Com
16. (D -> C) 15, Si
17. -D 7,16 MT
18. (A -> E) 2,17 MP
19. (-A v E) 18, MI
20. (E v -A) 19, Com20. See page 237 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman
21.
1. (D & Q) -> E
2. (-R & D) |- Q -> (E v -D)
3. -(D & Q) v E 1, MI
4. (-D v -Q) v E 3, DM
5. (-Q v -D) v E 4, Com
6. -Q v (-D v E) 5, As
7. Q -> (-D v E) 6, MI
8. Q -> (E v -D) 7, Com*
[Note here that premise #2 is not needed for the proof.]22.
1. -[-(S v -O) v B] 2. (B v O) 3. (O v O) -> S |- S
4. - - (S v -O) & -B 1, DM
5. -B & - - (S v -O) 4, Com
6. -B 5, Si
7. O 2,6 DS
8. (O v O) 7, Re
9. S 3,8 MP23.
1. (P v Q) v (Q & R)
2. -(-Q -> P) |- (Q v P) v Q
3. -(- - Q v P) 2, MI
4. -(Q v P) 3, DN
5. -(P v Q) 4, Com
6. (Q & R) 1,5 MP
7. Q 6, Si
8. (Q v P) 7, Ad
9. (Q v P) v Q 8, Ad24.
1. -(-K -> L)
2. (L & K) v (K & M) |- (K v L) v M
3. (K & L) v (K & M) 2, Com
4. K & (L v M) 3, Di
5. K 4, Si
6. (K v L) 5, Ad
7. (K v L) v M 6, Ad*
*Note that premise #1 is unnecessary for this proof.25. See page 237 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman
26.
1. (N v H) -> (-H & -I)
2. N v (H & J) |- N v -(H v I)
3. (N v H) & (N v J) 2, Di
4. (N v H) 3, Si
5. (-H & -I) 1,4 MP
6. -(H v I) 5, DM
7. -(H v I) v N 6, Ad
8. N v -(H v I) 7, Com27.
1. (B v Y) -> O
2. Q -> (Y & B) |- (-Q v O)
3. –Q v (Y & B) 2, MI
4. (-Q v Y) & (-Q v B) 3, Di
5. –(B v Y) v O 1, MI
6. (-B & -Y) v O 5, DM
7. O v (-B & -Y) 6, Com
8. (O v –B) & (O v –Y) 7, Di
9. (O v –Y) & (O v –B) 8, Com
10. (O v –Y) 9, Si
11. (-Y v O) 10, Com
12. (Y -> O) 11, MI
13. (-Q v Y) 4, Si
14. (Q -> Y) 13, MI
15. (Q -> O) 12,14 HS
16. (-Q v O) 15, MI
28.
1. (D -> -R) & (P -> E)
2. (-E v O)
3. (-P -> D) |- R -> (O & O)
4. (D -> -R) 1, Si
5. (E -> O) 2, MI
6. (P -> E) & (D -> -R) 1, Com
7. (P -> E) 6, Si
8. (P -> O) 5,7 HS
9. (-O -> -P) 8, Cp
10. (-O -> D) 3,9 HS
11. (-O -> -R) 4,10 HS
12. (R -> O) 11, Cp
13. R -> (O & O) 12, Re29.
1. (F -> H)
2. -(-H & F) -> (J & -L)
3. (-L v J) -> (T v I)
4. (T v C) |- T v (C & I)
5. (-F v H) 1, MI
6. (-F v - - H) 5, DN
7. (- - H v -F) 6, Com
8. -(-H & F) 7, DM
9. (J & -L) 2,8 MP
10. (-L & J) 9, Com
11. -L 10, Si
12. (-L v J) 11, Ad
13. (T v I) 3,12 MP
14. (T v C) & (T v I) 4,13 Con
15. T v (C & I) 14, Di30. See page 237 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman
Sect. 7.6. Pages 170-171.
1.
1. -(-I -> S) v -V |- (V -> -S)
2. V (A)
3. - - V 2, DN
4. -V v -(-I -> S) 1, Com
5. -(-I -> S) 3,4 DS
6. -(- - I v S) 5, MI
7. -(I v S) 6, DN
8. (-I & -S) 7, DM
9. (-S & -I) 8, Com
10. -S 9, Si
11. (V -> -S) 2-10, RCP2.
1. (R v T)
2. (O -> -Q)
3. (-O -> -T) |- (Q -> R)
4. Q (A)
5. - - Q 4, DN
6. -O 2,5 MT
7. -T 3,6 MT
8. (T v R) 1, Com
9. R 7,8 DS
10. (Q -> R) 4-9, RCP3.
1. -S
2. -(-H v S) -> U
3. (W -> -U) |- (H -> -W)
4. H (A)
5. (- - U -> -W) 3, Cp
6. (U -> -W) 5, DN
7. -(-H v S) -> -W 2,6 HS
8. (- -H & -S) -> -W 7, DM
9. (H & -S) -> -W 8, DN
10. (H & -S) 1,4 Con
11. -W 9,10 MP
12. (H -> -W) 4-11, RCP4.
1. (-V & -V) -> -E
2. (-R v -V)
3. (-R -> Q) |- (-E v Q)
4. E (A)
5. - - E 4, DN
6. -(-V & -V) 1,5 DM
7. (- - V v - - V) 6, DM
8. - - V 7, Re
9. (-V v -R) 2, Com
10. -R 8,9 DS
11. Q 3,10 MP
12. (E -> Q) 4-11, RCP
13. (-E v Q) 12, MI5. See page 237 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman
6.
1. (G v -U) v -T
2. (G -> N) |- -(T -> J) -> (U -> N)
3. -(T -> J) (A)
4. -(-T v J) 3, MI
5. (- - T & -J) 4, DM
6. -T v (G v -U) 1, Com
7. - - T 5, Si
8. (G v -U) 6,7 DS
9. U (A)
10. - - U 9, DN
11. (-U v G) 8, Com
12. G 10,11 DS
13. N 2,12 MP
14. (U -> N) 9-13, RCP
15. -(T -> -J) -> (U -> N) 3-14, RCP7.
1. -(Q v -D) v P
2. (-P v D) -> (Q v -H)
3. (P & P) -> D |- H -> (D <-> Q)
4. H (A)
5. (P -> D) 3, Re
6. D (A)
7. (D v -P) 6, Ad
8. (-P v D) 7, Com
9. (Q v -H) 2,8 MP
10. (-H v Q) 9, Com
11. (H -> Q) 10, MI
12. Q 4,11 MP
13. (D -> Q) 6-12, RCP
14. Q (A)
15. (-Q & - - D) v P 1, DM
16. (-Q & D) v P 15, DN
17. P v (-Q & D) 16, Com
18. (P v -Q) & (P v D) 17, Di
19. (P v -Q) 18, Si
20. (-Q v P) 19, Com
21. (Q -> P) 20, MI
22. P 14,21 MP
23. D 5,22 MP 24. (Q -> D) 14-23, RCP
25. (D -> Q) & (Q -> D) 13,24 Con
26. (D <-> Q) 25, ME
27. H -> (D <-> Q) 4-26, RCP8.
1. [(J v L) v -C] -> I
2. (I v L) -> E |- (C -> J) -> E
3. (C -> J) (A)
4. [-C v (J v L)] -> I 1, Com
5. [(-C v J) v L] -> I 4, As
6. [(C -> J) v L] -> I 5, MI
7. (C -> J) v L 3, Ad
8. I 6,7 MP
9. (I v L) 8, Ad
10. E 2,9 MP
11. (C -> J) -> E 3-10, RCP9.
1. -V -> (S & G)
2. (S v B) -> L
3. (L -> -X) |- (V v -X)
4. -V (A)
5. (S & G) 1,4 MP
6. S 5, Si
7. (S v G) 6, Ad
8. L 2,7 MP
9. -X 3,8 MP
10. (-V -> -X) 4-9, RCP
11. (- - V v –X) 10, MI
12. (V v -X) 11, DN10. See page 237 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman
Sect. 7.7. Pages 175-176.
1.
1. (T v -A) -> B
2. -(Q -> B) |- A
3. -A (A, DC)
4. (-A v T) 3, Ad
5. (T v -A) 4, Com
6. B 1,5 MP
7. -(-Q v B) 2, MI
8. (- - Q & -B) 7, DM
9. (-B & - - Q) 8, Com
10. -B 9, Si
11. (B v A) 6, Ad
12. A 10,11 DS
13. (-A -> A) 3-12, RCP
14. (- - A v A) 13, MI
15. (A v A) 14, DN
16. A 15, Re2.
1. S -> (C v A)
2. (-A & -C) |- -S
3. S (A,DC)
4. (C v A) 1,3 MP
5. -A 2, Si
6. (-C & -A) 2, Com
7, -C 6, Si
8. A 4,7 DS
9. (A v -S) 8, Ad
10. -S 5,9 DS
11. (S -> -S) 3-10, RCP
12. (-S v -S) 11, MI
13. -S 12, Re3.
1. (W -> K)
2. (-I -> -K) |- (-I -> -W)
3. -(-I -> -W) (A,DC)
4. -(- -I v -W) 3, MI
5. (- - -I & - -W) 4, DM 6. - - -I 5, Si
7. -I 6, DN
8. -K 2,7 MP
9. -W 1,8 MT
10. (- -W & - - -I) 5, Com
11. - -W 10, Si
12. -W v (-I -> -W) 9, Add
13. (-I -> -W) 11,12 DS
14. -(-I -> -W) -> (-I -> -W) 3-13, RCP
15. - -(-I -> -W) v (-I -> -W) 14, MI
16. (-I -> -W) v (-I -> -W) 15, DN
17. (-I -> -W) 16, Re#4
1. (-E -> -V)
2. (-X v T)
3. (-T v -E) |- -(V & X)
4. (V & X) (A, DC)
5. (X & V) 4, Com
6. X 5, Si
7. - -X 6, DN
8. T 2,7 DS
9. - -T 8, DN
10. -E 3,9 DS
11. -V 1,10 MP
12. V 4, Si
13. V v -(V & X) 12, Ad
14. -(V & X) 11,13 DS
15. (V & X) -> -(V & X) 4-14 RCP
16. -(V & X) v -(V & X) 15, MI
17. -(V & X) 16, Re#5. See pages 237-238 in First Logic, 3/e, Michael F. Goodman. Note: Replace 'U' with 'F' beginning with line 16.
#6.
1. (Z v W) -> A
2. (-O & -W) -> Z |- O v (A v Z)
3. -[O v (A v Z)] (A,DC)
4. -O & -(A v Z) 3, DM
5. -O 4, Si
6. -(A v Z) & -O 4, Com
7. -(A v Z) 6, Si
8. (-A & -Z) 7, DM
9. -A 8, Si
10. -(Z v W) 1,9 MT
11. (-Z & -W) 10, DM
12. (-W & -Z) 11, Com
13. -W 12, Si
14. (-O & -W) 5,13 Con
15. Z 2,14 MP
16. -Z 11, Si
17. Z v [(O v (A v Z)] 15, Add
18. O v (A v Z) 16,17 DS
19. -[O v (A v Z)] -> [O v (A v Z)] 3-18, RCP
20. - -[O v (A v Z)] v [O v (A v Z)] 19, MI
21. [O v (A v Z)] v [O v (A v Z)] 20, DN
22. O v (A v Z) 21, Re#7
1. H -> (-S & -P)
2. S -> (H & -P)
3. -(S -> V) |- (-H & -S)
4. -(-H & -S) (A,DC)
5. -(-S v V) 3, MI
6. (- -S & -V) 5, DM
7. - - S 6, Si
8. S 7, DN
9. (H & -P) 2,8 MP
10. H 9, Si
11. (-S & -P) 1,10, MP
12. -S 11, Si
13. S v (-H & -S) 8, Ad
14. (-H & -S) 12,13 DS
15. -(-H & -S) -> (-H & -S) 4-14, RCP
16. - -(-H & -S) v (-H & -S) 15, MI
17. (-H & -S) v (-H & -S) 16, DN
18. (-H & -S) 17, Re8.
1. (M -> -E)
2. (K -> -Q)
3. (E v K) |- (-M v -Q)
4. -(-M v Q) (A,DC)
5. (- - M & - - Q) 4, DM
6. - - M 5, Si
7. M 6, DN
8. -E 1,7 MP
9. K 3,8 DS
10. -Q 2,9 MP
11. (- - Q & - - M) 5, Com
12. - - Q 11, Si
13. -Q v (-M v -Q) 10, Ad
14. (-M v -Q) 12,13 DS
15. -(-M v -Q) -> (-M v -Q) 4-14, RCP
16. - -(-M v -Q) v (-M v -Q) 15, MI
17. (-M v -Q) v (-M v -Q) 16, DN
18. (-M v -Q) 17, Re9.
1. -G
2. (P v T) -> (T -> G)
3. (G -> T) |- -T
4. T (A,DC)
5. (T v P) 4, Add
6. (P v T) 5, Com
7. (T -> G) 2,6 MP
8. G 4,7 MP
9. (G v -T) 8, Add
10. -T 1,9 DS
11. (T -> -T) 4-10, RCP
12. (-T v -T) 11, MI
13. -T 12, Re10. See page 238 in First Logic, 3/e, by Michael F. Goodman
11.
1. (C v -W)
2. (S -> B)
3. (B -> -C) |- (-W v –S)
4. -(-W v -S) (A,DC)
5. (- - W & - - S) 4, DM
6. - - W 5, Si
7. (-W v C) 1, Com
8. C 6,7 DS
9. (- - S & - - W) 5, Com
10. - - S 9, Si
11. S 10, DN
12. B 2,11 MP
13. -C 3,12 MP
14. C v (-W v -S) 8, Ad
15. (-W v -S) 13,14 DS
16. -(-W v -S) -> (-W v -S) 4-15, RCP
17. - - (-W v -S) v (-W v -S) 16, MI
18. (-W v -S) v (-W v -S) 17, DN
19. (-W v -S) 18, Re12.
1. -(-R & S) & -(S -> R) |- M
2. -M (A,DC)
3. (- - R v -S) & -(S -> R) 1, DM
4. (- - R v -S) & -(-S v R) 3, MI
5. (R v -S) & -(-S v R) 4, DN
6. (R v -S) & -(R v -S) 5, Com
7. (R v -S) 6, Si
8. -(R v -S) & (R v -S) 6, Com
9. -(R v -S) 8, Si
10. (R v -S) v M 7, Ad
11. M 9,10 DS
12. (-M -> M) 2-11, RCP
13. (- - M v M) 12, MI
14. (M v M) 13, DN
15. M 14, Re**Note that the premise is contradictory, thus allowing 'M' to follow when 'M' fails to appear in the premise itself.